Les âges du calcul

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Chère consoeur, chers confrères, il ne s’agit pas pour moi ici de vous entraîner dans des considérations sur les aptitudes aux mathématiques qui se développent à l’âge précoce ou qui trouvent leur plein épanouissement à l’âge mûr. Mais plutôt de partager avec vous quelques réflexions sur l’usage du calcul, mot que j’utiliserai parfois comme substitut au mot plus ambitieux de mathématiques, usage donc du calcul à travers l’histoire, de son invention à ses développements les plus récents, voire un peu au-delà !

Premier âge donc, l’invention et les premières utilisations.

Pourquoi et comment sapiens sapiens en vint-il à cette idée de compter ? Probablement fautil en chercher l’origine dans le compte que faisaient les chasseurs-cueilleurs du gibier chassé : Georges Ifrah indique dans son histoire des chiffres que «… de multiples encoches retrouvées sur les parois rocheuses des grottes préhistoriques à côté de silhouettes d’animaux ne laissent planer aucun doute sur leur fonction comptable». Mais ce sont très probablement les activités et les échanges liés à l’agriculture, à l’artisanat et au commerce qui furent les facteurs prépondérants pour la transition aux deux éléments fondamentaux de la culture humaine que sont l’écriture et le calcul. Si les premières écritures remontent au 4ème millénaire avant Jésus- Christ, avec l’écriture cunéiforme apparue en Basse Mésopotamie, il semble bien que des peuples sans écriture aient préalablement développé des systèmes de comptage. Ce serait dès le 9ème millénaire avant Jésus-Christ que seraient ainsi apparus les calculi, jetons d’argile, disques, cylindres, cônes, sphères, dont on multiplie le nombre pour représenter des têtes de bétail, des volumes de grains, des outils particuliers … En ce sens les calculi sont certes tout autant des formes primaires du calcul que de l’écriture, mais si les «mots calculi» ne sont pas encore assemblables en phrases, ils peuvent très aisément être rassemblés pour décrire la quantité. Cette fois de façon concomitante avec l’apparition de l’écriture, l’étape suivante a consisté à remplacer la forme des calculi par un signe gravé à sa surface, cercles, triangles, … puis, étape cruciale, à graver sur les calculi, en même temps que le signe repérant la nature de l’objet, un autre signe traduisant la quantité, « un », deux », « trois », etc., signe qui trouveront bientôt leur complète autonomie indépendamment de la nature de l’objet compté. Les protochiffres sont nés de cette façon chez les sumériens, vers 3.100 avant notre ère. Tout laisse à penser que ce sont les activités liées au commerce qui furent la force principale derrière cette évolution : besoin d’évaluer la quantité de denrées en réserve ou à échanger, nécessité de symboliser le prix de ces denrées, …

Mais indiquer, repérer, ne veut pas dire calculer, en tout cas pas calculer de façon simple et efficace. Avez-vous déjà essayé, chers confrères, de faire une addition, et encore plus une multiplication, à l’aide des seuls chiffres romains ? C’est ainsi que pendant des siècles, en particulier à travers tout notre moyen-âge occidental, des «savants» étaient les seuls à savoir calculer, à l’aide de tables ou d’abaques. Ce n’est qu’avec l’apparition des chiffres dits arabes, avec la numération de position, et avec le chiffre « zéro » pour dénoter l’absence ou l’emplacement vide, que le calcul put à nouveau être utilisé par les classes industrieuses de la société. Une petite digression à ce sujet, en suivant le grand mathématicien du début du XIXème siècle, Pierre-Simon Laplace : « C’est à l’Inde que nous devons d’exprimer tous les nombres au moyen de dix symboles, chaque symbole ayant une valeur de position ainsi qu’une valeur absolue (…), et nous apprécierons d’autant plus la grandeur de cette oeuvre que nous nous souviendrons qu’elle a échappé au génie d’Archimède et d’Appolonius, deux des plus grands hommes qu’ait produits l’Antiquité ». Cette invention indienne, qu’il est possible de dater de la période courant du IIIème au Vème siècle de notre ère, doit sa diffusion vers le monde occidental à l’action des marchands commerçant entre l’Inde et le reste du monde, action de diffusion bientôt relayée par les marchands arabes qui l’introduisirent en Europe au début du XIIIème siècle. Il n’est pas sans intérêt de noter que c’est Leonardo Fibonacci, né à Pise vers la fin du XIIème siècle (ca. 1170) dans une famille de marchands, qui présenta dans son fameux ouvrage «Liber Abaci» en 1202 la méthode des Indiens («modus Indorum»), cette numération de position si utile, en l’appliquant à de nombreux sujets parmi lesquels la comptabilité, la conversion des poids et mesures, le calcul des intérêts, le cours d’échange des monnaies, toutes activités dont l’intérêt commercial est si évident ! Certes Leonardo Fibonacci est aussi largement connu par sa suite de nombres, la «suite de Fibonacci», où chaque nombre est la somme des 2 précédents (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …), et avec sa relation au nombre d’or, mais sans commerce pas de véritable possibilité de calculer ! Sans commerce ou sans impôts, puisque Blaise Pascal inventa en 1642 sa machine d’arithmétique, plus tard dénommée «pascaline», pour aider son père, surintendant de la Haute-Normandie, à remettre en ordre les recettes fiscales de cette province.

Si le premier âge du calcul peut donc être caractérisé par sa fonction principalement sociale, échanger, commercer, le deuxième âge permet d’ouvrir une nouvelle fenêtre sur le monde en en proposant une description quantifiée, mathématisée.

Deuxième âge maintenant, l’explication de la nature et du monde.

Une fois en possession de ce formidable outil, de nouvelles perspectives s’ouvrirent aux hommes de la Renaissance : il devenait possible de calculer des règles et des lois connues jusqu’à ce moment de façon certes assez détaillée pour certaines, mais connues de façon uniquement empirique.

L’exemple le plus frappant est probablement celui de l’astronomie. L’expansion austronésienne, c’est-à-dire le peuplement progressif de toutes les îles du Pacifique, a nécessité de grandes connaissances de navigation basées sur l’astronomie. Aucun courant marin, aucun vent dominant, n’est en effet capable de pousser des « explorateurs » vers de minuscules terres et, plus encore, si de telles terres ont été atteintes par hasard, de ramener ces explorateurs vers leurs patries d’origine ou encore de permettre une poursuite du peuplement par d’autres colonies. Iles Salomon occupées dès 1.600 avant notre ère, suivies des îles Santa- Cruz, des îles Gilbert, des Carolines, des Marshall, des Fidji, de Tonga et des Samoa ; et au début de l’ère chrétienne les îles Cook, Tahiti, les Marquises et Hawaï … et l’île de Pâques ! Comment ceci aurait-il été possible sans une connaissance expérimentale de la navigation basée sur la connaissance des astres, soleil bien entendu en premier lieu, mais aussi constellations, dont la position de lever et ce coucher marquent, en nombre, des directions géographiques particulières. Cette connaissance fut donc transmise oralement, et sans mathématisation ni calcul, ce qui étonna beaucoup les explorateurs occidentaux du XVIIIème siècle, de Ferdinand Magellan à James Cook et Antoine de Bougainville. Ces explorateurs ne se privèrent d’ailleurs pas d’interroger les indigènes sur leurs techniques d’orientation et de navigation !

Le calcul allait toutefois permettre de quantifier, et donc de reproduire, prévoir et transmettre beaucoup plus facilement cette connaissance. Johannes Kepler, sur la base d’une analyse des observations astronomiques de Tycho Brahe, fut ainsi capable, dès le début du XVIIème siècle, d’énoncer de façon mathématisée et calculable ses fameuses «lois» (1), première loi des trajectoires elliptiques, et deuxième lois dite «loi des aires» (2). Cette mathématisation permit entre autres d’affiner la loi expérimentale, qui concluait à l’existence d’orbites circulaires, en montrant que l’orbite de Mars était en fait elliptique, conclusion étendue ensuite aux autres planètes connues à cette époque. Elle mit aussi fin de façon avérée à la vision géocentrique d’Aristote et de Ptolémée, et améliora la vision héliocentrique mais circulaire de Nicolas Copernic. Cette mathématisation ouvrit enfin la voie à Isaac Newton qui, 80 ans plus tard, prouva par un autre fameux calcul que les lois de Kepler pouvaient en très bonne approximation être déduites de la mécanique d’un système solaire régi par les lois du mouvement et de la gravitation qu’il venait d’énoncer. Ainsi naquirent la physique et l’astronomie modernes, visions peut-être plus calculées que véritablement découvertes. Et pour en revenir à nos marins, cette nouvelle approche calculable permit d’améliorer en retour la navigation, entre autres relativement au problème de la mesure de la longitude, même si les méthodes astronomiques fondées sur les mouvements de la lune s’avérèrent in fine moins puissantes que celle basée sur la mesure précise du temps ! La méthode expérimentale, dialogue fructueux entre la science observationnelle, source de découvertes ensuite mises en perspective par une approche mathématisée, allait régner sur tout les XVIIème et XVIIIème siècles. Le calcul était source de précision, était moyen de reproduction des phénomènes, contribuait à la transmission des savoirs, mais n’avait pas encore réellement atteint au stade d’outil d’exploration et de découverte. Le second âge du calcul peut donc être baptisé d’âge de la mathématisation de la nature.

Troisième âge pour suivre, l’outil de découverte.

Il est difficile de déceler à partir de quel moment la confiance fût assez grande dans les lois de la nature ainsi mathématisées pour oser entreprendre des calculs exploratoires, destinés non plus à décrire le connu mais à anticiper l’inconnu ? L’idée en était néanmoins présente dès le début du XIXème siècle. Pierre Simon Laplace n’écrivait-il pas déjà en 1814 dans l’introduction de son ouvrage «Essai philosophique sur les probabilités» : «Une intelligence qui, à un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la compose embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome ; rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux». La vision de Pierre Simon Laplace et de son «démon», ou de son «génie», apparaît aujourd’hui bien trop ambitieuse, et même erronée au regard de la découverte du chaos déterministe. «Le battement des ailes d’un papillon en Australie peut modifier le temps en Amérique», mais, bien sûr, Pierre Simon Laplace revendiquait aussi la connaissance, à un instant donné, de tous les papillons du monde !

Pour rester dans le domaine de l’astronomie, dont l’étroite parenté avec les mathématique et le calcul s’est affirmée et renforcée au cours des siècles, ce fut Urbain Le Verrier, futur directeur de l’Observatoire de Paris et promoteur du premier réseau météorologique, qui en 1846 découvrit par le calcul une nouvelle planète, Neptune, seul moyen d’expliquer les perturbations de l’orbite d’une autre planète, connue et observée, Uranus. Cette nouvelle planète Neptune fut ensuite effectivement découverte par l’observation à Berlin quelques semaines plus tard. Son mentor d’alors, François Arago, dira de lui devant l’Académie des Sciences : «M. Le Verrier vit le nouvel astre au bout de sa plume ». Dernier avatar en date de cette méthode de découverte par le calcul : le fameux boson de Higgs, issu tout droit du «modèle standard de la physique des particules», dont l’existence fut calculée et prédite dès 1964, et qui apparut effectivement sur les images collectées par le CERN à la mi-2012.

Entre temps les capacités de découverte et d’anticipation ouvertes par l’utilisation des lois mathématisées de la nature se sont multipliées. La prévision du temps qu’il fera dans quelques jours ne relève plus de la seule observation du ciel par un météorologue expérimenté, même en s’appuyant sur la vue plus globale de l’atmosphère que l’on peut gagner depuis l’espace. Ce sont les lois de la mécanique, du déplacement de l’air, et de la physique, de l’apport d’énergie par le soleil, qui sont les outils de cette anticipation du temps «weather» dans le temps «time». Certes, même Urbain Le Verrier ne serait pas capable de calculer «au bout de sa plume» le temps de la semaine prochaine. Ce sont de puissants ordinateurs qui ont pris progressivement le relais depuis la fin du XXème siècle, mais ces ordinateurs ne font que multiplier les calculs élémentaires d’addition et de multiplication que leur prescrivent de faire les nouveaux météorologues, et qu’ils réalisent au rythme du million de milliards par seconde ! Et l’expérience commune montre à l’évidence que la capacité anticipatrice du calcul est bien réelle. Il m’est arrivé devant votre audience d’indiquer que les avions volaient maintenant in silicio, entièrement calculés de façon prévisionnelle sur ordinateur, avant que le pilote d’essai aux commandes du prototype 001 ne prenne effectivement les commandes et ne vérifie que tout se passe «comme dans le calcul». Dernier exemple qui m’est cher, le changement climatique auquel il faut se préparer pour les décennies à venir, et qui résulte inéluctablement des modifications de sa composition chimique que l’homme impose à l’atmosphère. Seul le calcul, toujours via les meilleurs ordinateurs, est de nature à fournir cette base d’anticipation rationnelle, et le calcul est le seul outil pour éclairer notre futur climatique.

Claude Bernard a défini les trois principes de la méthode scientifique : l’hypothèse, puis l’expérience, et enfin la théorie, vérifiée ou améliorée, et elle-même source de nouvelles hypothèses. Longtemps l’expérience ne fut possible que in vivo ou in situ, réalisée directement au sein de la nature qu’elle explore. Le troisième âge du calcul ouvre une nouvelle voie, celle de l’expérimentation par le calcul, ou expérimentation numérique : lorsque des lois de la nature sont pleinement reconnues, le calcul permet de les utiliser pour expérimenter in silicio, il devient lui-même un outil de découverte.

Quatrième âge pour finir, la virtualité, l’alternative à la nature et au monde.

Je ne reprendrai pas ici, chère consoeur et chers confrères, l’ensemble des éléments que j’avais eus le plaisir de vous présenter en 2005 …, rappel s’il en était besoin soulignant ma mauvaise assiduité aux séances …, éléments relatifs à la virtualité, à la reconstruction par le calcul de mondes qui ressemblent au nôtre mais dont on peut faire varier les règles à sa convenance. De quoi s’agit-il ?

Le calcul sur ordinateur produit tout aussi bien des résultats chiffrés que des images, de qualités maintenant exceptionnelles. Ces images peuvent s’animer, on peut en varier l’angle de vue et, par des techniques stéréoscopiques, accéder à la troisième dimension. Nos descendants sont devenus experts dans la manipulation de ces techniques, ils ont à leur disposition des outils qui leur permettent de s’immerger dans cette autre réalité que leur proposent les images, calculées à grands renforts d’ordinateurs tout autant miniaturisés qu’hyper-performants ! Les scientifiques travaillent sur des versions pleinement tridimensionnelles de ces techniques, en projetant les images sur toutes les parois d’une pièce au sein de laquelle se déplacent un observateur, un expérimentateur, munis des bonnes lunettes stéréoscopiques. Un autre élément est à considérer ici : le seul usage de la vision ne permet pas de distinguer entre réalité et virtualité ; si le cadre du miroir est invisible, comment savoir si l’on regarde le monde réel ou son image renversée sur le miroir ? La transition peut donc s’opérer entre une visualisation interactive, réalisée à grand renfort de calculs, et une réalité virtuelle, oxymore certes, mais, si j’ose dire, réalité aujourd’hui.

Et si le calcul permet d’accéder à une autre réalité, reconstruite et virtuelle, ne pourrait-il pas un jour remplacer le cerveau humain ? Nous en sommes encore très loin, rassurez-vous, mais les premiers travaux ont débuté depuis quelques années. La tâche est immense : caractériser et modéliser par le calcul chacun des innombrables types de neurones et leur milliers de dendrites, représenter, toujours par le calcul, les interactions et transmissions d’informations entre ces 100 milliards de neurones via les quelques dizaines de milliers de synapses associées à chaque neurone, … Mais, après tout, nos calculs d’aujourd’hui ne se font-ils pas à la vitesse de plusieurs millions de milliards d’opérations par seconde, à la vitesse de milliards de milliards d’opérations par seconde dans 5 ans ou moins ? Après tout, nos plus gros ordinateurs ne sont-ils pas constitués aujourd’hui de plusieurs centaines de milliers d’unités de calculs individuelles, reliées par des réseaux de communication puissants ? Ce programme de recherche futuriste, baptisé Blue Brain, le cerveau bleu, est déjà lancé. Le XXIème siècle le verra-t-il se réaliser, au moins partiellement, achèvement ultime du 4ème âge de ce calcul inventé à l’aube de l’humanité ?

Quelques remarques moins futuristes pour conclure !

Les 4 âges du calcul qui ont été l’objet de la promenade dans le temps que je vous ai proposée sont de durées très inégales, de près de 10 millénaires pour le premier, de quelques siècles pour le second, et d’un siècle ou de quelques décennies pour les plus récents. Comme pour toutes les classifications de ce type, le calendrier se concentre aux époques récentes. Est-ce un effet indubitable, lié à un comportement «boule de neige» qui permet des accélérations s’accélérant elles-mêmes (les mathématiciens disent des variations exponentielles) ? Ou n’estce pas aussi un peu le signe de notre prétention à une supériorité intrinsèque par rapport à nos prédécesseurs ?

Je n’irai pas plus loin sur ce terrain, mais peut-être est-il intéressant pour conclure de réfléchir à la profonde association entre le monde vivant et la notion de chiffres et de calculs. L’homme adulte n’est pas seul dépositaire de la «bosse des nombres» !

Les animaux aussi connaissent la notion de quantité, ils sont sensibles à la taille du troupeau, ils ne s’aventurent pas dans une zone où le nombre de prédateurs est trop important, ils recherchent des territoires où les proies sont nombreuses. Ils perçoivent bien les notions de «un», de «un peu», de «beaucoup» … sans mentionner les animaux de cirque qui ont appris à compter !

Et dès son plus jeune âge l’homme montre des dispositions pour une certaine forme de calcul. Des expériences récentes ont montré que des nouveau-nés de quelques heures de vie peuvent d’une certaine façon reconnaître des nombres : il suffit par exemple de leur faire entendre pendant quelque temps un son composé d’un nombre donné de syllabes (par exemple 4 comme dans tu-tu-tu-tu) puis de leur présenter des images contenant, soit 4 objets identiques, soit un nombre différent d’objets. Les résultats montrent qu’ils contemplent plus longtemps l’image lorsque celle-ci contient un nombre d’objet correspondant au nombre de sons entendus, montrant ainsi qu’ils sont capables de détecter les correspondances numériques entre ces différentes sortes de stimuli, pourtant très différents.

Il ne faut donc pas s’étonner de la longue amitié entre l’Homme, les nombres et le calculs !

Notes

1. La dénomination “lois” est due à Voltaire qui fut le premier à l’utiliser dans ses “Eléments de la philosophie de Newton” de 1738.
2. La troisième loi de Kepler, reliant le carré de la période orbitale au cube du demi grand axe, fut découverte et mathématisée 10 ans plus tard.

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