Lecture de M. Jean-Claude André
6 décembre 2012

« Les âges du calcul »



Chère consoeur, chers confrères, il ne s’agit pas pour moi ici de vous entraîner dans des
considérations sur les aptitudes aux mathématiques qui se développent à l’âge précoce ou qui
trouvent leur plein épanouissement à l’âge mûr. Mais plutôt de partager avec vous quelques
réflexions sur l’usage du calcul, mot que j’utiliserai parfois comme substitut au mot plus
ambitieux de mathématiques, usage donc du calcul à travers l’histoire, de son invention à ses
développements les plus récents, voire un peu au-delà !


Premier âge donc, l’invention et les premières utilisations.


Pourquoi et comment sapiens sapiens en vint-il à cette idée de compter ? Probablement fautil
en chercher l’origine dans le compte que faisaient les chasseurs-cueilleurs du gibier chassé :
Georges Ifrah indique dans son histoire des chiffres que «… de multiples encoches retrouvées
sur les parois rocheuses des grottes préhistoriques à côté de silhouettes d’animaux ne laissent
planer aucun doute sur leur fonction comptable». Mais ce sont très probablement les activités
et les échanges liés à l’agriculture, à l’artisanat et au commerce qui furent les facteurs
prépondérants pour la transition aux deux éléments fondamentaux de la culture humaine que
sont l’écriture et le calcul. Si les premières écritures remontent au 4ème millénaire avant Jésus-
Christ, avec l’écriture cunéiforme apparue en Basse Mésopotamie, il semble bien que des
peuples sans écriture aient préalablement développé des systèmes de comptage. Ce serait dès
le 9ème millénaire avant Jésus-Christ que seraient ainsi apparus les calculi, jetons d’argile,
disques, cylindres, cônes, sphères, dont on multiplie le nombre pour représenter des têtes de
bétail, des volumes de grains, des outils particuliers … En ce sens les calculi sont certes tout
autant des formes primaires du calcul que de l’écriture, mais si les «mots calculi» ne sont pas
encore assemblables en phrases, ils peuvent très aisément être rassemblés pour décrire la
quantité. Cette fois de façon concomitante avec l’apparition de l’écriture, l’étape suivante a
consisté à remplacer la forme des calculi par un signe gravé à sa surface, cercles, triangles, …
puis, étape cruciale, à graver sur les calculi, en même temps que le signe repérant la nature de
l’objet, un autre signe traduisant la quantité, « un », deux », « trois », etc., signe qui trouveront
bientôt leur complète autonomie indépendamment de la nature de l’objet compté. Les protochiffres
sont nés de cette façon chez les sumériens, vers 3.100 avant notre ère. Tout laisse à
penser que ce sont les activités liées au commerce qui furent la force principale derrière cette
évolution : besoin d’évaluer la quantité de denrées en réserve ou à échanger, nécessité de
symboliser le prix de ces denrées, …


Mais indiquer, repérer, ne veut pas dire calculer, en tout cas pas calculer de façon simple et
efficace. Avez-vous déjà essayé, chers confrères, de faire une addition, et encore plus une
multiplication, à l’aide des seuls chiffres romains ? C’est ainsi que pendant des siècles, en
particulier à travers tout notre moyen-âge occidental, des «savants» étaient les seuls à savoir
calculer, à l’aide de tables ou d’abaques. Ce n’est qu’avec l’apparition des chiffres dits arabes,
avec la numération de position, et avec le chiffre « zéro » pour dénoter l’absence ou
l’emplacement vide, que le calcul put à nouveau être utilisé par les classes industrieuses de la
société. Une petite digression à ce sujet, en suivant le grand mathématicien du début du
XIXème siècle, Pierre-Simon Laplace : « C’est à l’Inde que nous devons d’exprimer tous les
nombres au moyen de dix symboles, chaque symbole ayant une valeur de position ainsi
qu’une valeur absolue (…), et nous apprécierons d’autant plus la grandeur de cette oeuvre que
nous nous souviendrons qu’elle a échappé au génie d’Archimède et d’Appolonius, deux des
plus grands hommes qu’ait produits l’Antiquité ». Cette invention indienne, qu’il est possible
de dater de la période courant du IIIème au Vème siècle de notre ère, doit sa diffusion vers le
monde occidental à l’action des marchands commerçant entre l’Inde et le reste du monde,
action de diffusion bientôt relayée par les marchands arabes qui l’introduisirent en Europe au
début du XIIIème siècle. Il n’est pas sans intérêt de noter que c’est Leonardo Fibonacci, né à
Pise vers la fin du XIIème siècle (ca. 1170) dans une famille de marchands, qui présenta dans
son fameux ouvrage «Liber Abaci» en 1202 la méthode des Indiens («modus Indorum»), cette
numération de position si utile, en l’appliquant à de nombreux sujets parmi lesquels la
comptabilité, la conversion des poids et mesures, le calcul des intérêts, le cours d’échange des
monnaies, toutes activités dont l’intérêt commercial est si évident ! Certes Leonardo
Fibonacci est aussi largement connu par sa suite de nombres, la «suite de Fibonacci», où
chaque nombre est la somme des 2 précédents (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …), et avec sa relation au
nombre d’or, mais sans commerce pas de véritable possibilité de calculer ! Sans commerce ou
sans impôts, puisque Blaise Pascal inventa en 1642 sa machine d’arithmétique, plus tard
dénommée «pascaline», pour aider son père, surintendant de la Haute-Normandie, à remettre
en ordre les recettes fiscales de cette province.


Si le premier âge du calcul peut donc être caractérisé par sa fonction principalement sociale,
échanger, commercer, le deuxième âge permet d’ouvrir une nouvelle fenêtre sur le monde en
en proposant une description quantifiée, mathématisée.


Deuxième âge maintenant, l’explication de la nature et du monde.


Une fois en possession de ce formidable outil, de nouvelles perspectives s’ouvrirent aux
hommes de la Renaissance : il devenait possible de calculer des règles et des lois connues
jusqu’à ce moment de façon certes assez détaillée pour certaines, mais connues de façon
uniquement empirique.


L’exemple le plus frappant est probablement celui de l’astronomie. L’expansion
austronésienne, c’est-à-dire le peuplement progressif de toutes les îles du Pacifique, a
nécessité de grandes connaissances de navigation basées sur l’astronomie. Aucun courant
marin, aucun vent dominant, n’est en effet capable de pousser des « explorateurs » vers de
minuscules terres et, plus encore, si de telles terres ont été atteintes par hasard, de ramener ces
explorateurs vers leurs patries d’origine ou encore de permettre une poursuite du peuplement
par d’autres colonies. Iles Salomon occupées dès 1.600 avant notre ère, suivies des îles Santa-
Cruz, des îles Gilbert, des Carolines, des Marshall, des Fidji, de Tonga et des Samoa ; et au
début de l’ère chrétienne les îles Cook, Tahiti, les Marquises et Hawaï … et l’île de Pâques !
Comment ceci aurait-il été possible sans une connaissance expérimentale de la navigation
basée sur la connaissance des astres, soleil bien entendu en premier lieu, mais aussi
constellations, dont la position de lever et ce coucher marquent, en nombre, des directions
géographiques particulières. Cette connaissance fut donc transmise oralement, et sans
mathématisation ni calcul, ce qui étonna beaucoup les explorateurs occidentaux du XVIIIème
siècle, de Ferdinand Magellan à James Cook et Antoine de Bougainville. Ces explorateurs ne
se privèrent d’ailleurs pas d’interroger les indigènes sur leurs techniques d’orientation et de
navigation !


Le calcul allait toutefois permettre de quantifier, et donc de reproduire, prévoir et transmettre
beaucoup plus facilement cette connaissance. Johannes Kepler, sur la base d’une analyse des
observations astronomiques de Tycho Brahe, fut ainsi capable, dès le début du XVIIème siècle,
d’énoncer de façon mathématisée et calculable ses fameuses «lois» (1), première loi des
trajectoires elliptiques, et deuxième lois dite «loi des aires» (2). Cette mathématisation permit
entre autres d’affiner la loi expérimentale, qui concluait à l’existence d’orbites circulaires, en
montrant que l’orbite de Mars était en fait elliptique, conclusion étendue ensuite aux autres
planètes connues à cette époque. Elle mit aussi fin de façon avérée à la vision géocentrique
d’Aristote et de Ptolémée, et améliora la vision héliocentrique mais circulaire de Nicolas
Copernic. Cette mathématisation ouvrit enfin la voie à Isaac Newton qui, 80 ans plus tard,
prouva par un autre fameux calcul que les lois de Kepler pouvaient en très bonne
approximation être déduites de la mécanique d’un système solaire régi par les lois du
mouvement et de la gravitation qu’il venait d’énoncer. Ainsi naquirent la physique et
l’astronomie modernes, visions peut-être plus calculées que véritablement découvertes. Et
pour en revenir à nos marins, cette nouvelle approche calculable permit d’améliorer en retour
la navigation, entre autres relativement au problème de la mesure de la longitude, même si les
méthodes astronomiques fondées sur les mouvements de la lune s’avérèrent in fine moins
puissantes que celle basée sur la mesure précise du temps !
La méthode expérimentale, dialogue fructueux entre la science observationnelle, source de
découvertes ensuite mises en perspective par une approche mathématisée, allait régner sur
tout les XVIIème et XVIIIème siècles. Le calcul était source de précision, était moyen de
reproduction des phénomènes, contribuait à la transmission des savoirs, mais n’avait pas
encore réellement atteint au stade d’outil d’exploration et de découverte. Le second âge du
calcul peut donc être baptisé d’âge de la mathématisation de la nature.


Troisième âge pour suivre, l’outil de découverte.

Il est difficile de déceler à partir de quel moment la confiance fût assez grande dans les lois de
la nature ainsi mathématisées pour oser entreprendre des calculs exploratoires, destinés non
plus à décrire le connu mais à anticiper l’inconnu ? L’idée en était néanmoins présente dès le
début du XIXème siècle. Pierre Simon Laplace n’écrivait-il pas déjà en 1814 dans
l’introduction de son ouvrage «Essai philosophique sur les probabilités» : «Une intelligence
qui, à un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation
respective des êtres qui la compose embrasserait dans la même formule les mouvements des
plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome ; rien ne serait incertain pour elle, et
l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux». La vision de Pierre Simon Laplace et de
son «démon», ou de son «génie», apparaît aujourd’hui bien trop ambitieuse, et même erronée
au regard de la découverte du chaos déterministe. «Le battement des ailes d’un papillon en
Australie peut modifier le temps en Amérique», mais, bien sûr, Pierre Simon Laplace
revendiquait aussi la connaissance, à un instant donné, de tous les papillons du monde !


Pour rester dans le domaine de l’astronomie, dont l’étroite parenté avec les mathématique et le
calcul s’est affirmée et renforcée au cours des siècles, ce fut Urbain Le Verrier, futur directeur
de l’Observatoire de Paris et promoteur du premier réseau météorologique, qui en 1846
découvrit par le calcul une nouvelle planète, Neptune, seul moyen d’expliquer les
perturbations de l’orbite d’une autre planète, connue et observée, Uranus. Cette nouvelle
planète Neptune fut ensuite effectivement découverte par l’observation à Berlin quelques
semaines plus tard. Son mentor d’alors, François Arago, dira de lui devant l'Académie des
Sciences : «M. Le Verrier vit le nouvel astre au bout de sa plume ». Dernier avatar en date de
cette méthode de découverte par le calcul : le fameux boson de Higgs, issu tout droit du
«modèle standard de la physique des particules», dont l’existence fut calculée et prédite dès
1964, et qui apparut effectivement sur les images collectées par le CERN à la mi-2012.

Entre temps les capacités de découverte et d’anticipation ouvertes par l’utilisation des lois
mathématisées de la nature se sont multipliées. La prévision du temps qu’il fera dans quelques
jours ne relève plus de la seule observation du ciel par un météorologue expérimenté, même
en s’appuyant sur la vue plus globale de l’atmosphère que l’on peut gagner depuis l’espace.
Ce sont les lois de la mécanique, du déplacement de l’air, et de la physique, de l’apport
d’énergie par le soleil, qui sont les outils de cette anticipation du temps «weather» dans le
temps «time». Certes, même Urbain Le Verrier ne serait pas capable de calculer «au bout de
sa plume» le temps de la semaine prochaine. Ce sont de puissants ordinateurs qui ont pris
progressivement le relais depuis la fin du XXème siècle, mais ces ordinateurs ne font que
multiplier les calculs élémentaires d’addition et de multiplication que leur prescrivent de faire
les nouveaux météorologues, et qu’ils réalisent au rythme du million de milliards par
seconde ! Et l’expérience commune montre à l’évidence que la capacité anticipatrice du calcul
est bien réelle. Il m’est arrivé devant votre audience d’indiquer que les avions volaient
maintenant in silicio, entièrement calculés de façon prévisionnelle sur ordinateur, avant que le
pilote d’essai aux commandes du prototype 001 ne prenne effectivement les commandes et ne
vérifie que tout se passe «comme dans le calcul». Dernier exemple qui m’est cher, le
changement climatique auquel il faut se préparer pour les décennies à venir, et qui résulte
inéluctablement des modifications de sa composition chimique que l’homme impose à
l’atmosphère. Seul le calcul, toujours via les meilleurs ordinateurs, est de nature à fournir
cette base d’anticipation rationnelle, et le calcul est le seul outil pour éclairer notre futur
climatique.


Claude Bernard a défini les trois principes de la méthode scientifique : l’hypothèse, puis
l’expérience, et enfin la théorie, vérifiée ou améliorée, et elle-même source de nouvelles
hypothèses. Longtemps l’expérience ne fut possible que in vivo ou in situ, réalisée
directement au sein de la nature qu’elle explore. Le troisième âge du calcul ouvre une
nouvelle voie, celle de l’expérimentation par le calcul, ou expérimentation numérique :
lorsque des lois de la nature sont pleinement reconnues, le calcul permet de les utiliser pour
expérimenter in silicio, il devient lui-même un outil de découverte.


Quatrième âge pour finir, la virtualité, l’alternative à la nature et au monde.


Je ne reprendrai pas ici, chère consoeur et chers confrères, l’ensemble des éléments que j’avais
eus le plaisir de vous présenter en 2005 …, rappel s’il en était besoin soulignant ma mauvaise
assiduité aux séances …, éléments relatifs à la virtualité, à la reconstruction par le calcul de
mondes qui ressemblent au nôtre mais dont on peut faire varier les règles à sa convenance. De
quoi s’agit-il ?


Le calcul sur ordinateur produit tout aussi bien des résultats chiffrés que des images, de
qualités maintenant exceptionnelles. Ces images peuvent s’animer, on peut en varier l’angle
de vue et, par des techniques stéréoscopiques, accéder à la troisième dimension. Nos
descendants sont devenus experts dans la manipulation de ces techniques, ils ont à leur
disposition des outils qui leur permettent de s’immerger dans cette autre réalité que leur
proposent les images, calculées à grands renforts d’ordinateurs tout autant miniaturisés
qu’hyper-performants ! Les scientifiques travaillent sur des versions pleinement
tridimensionnelles de ces techniques, en projetant les images sur toutes les parois d’une pièce
au sein de laquelle se déplacent un observateur, un expérimentateur, munis des bonnes
lunettes stéréoscopiques. Un autre élément est à considérer ici : le seul usage de la vision ne
permet pas de distinguer entre réalité et virtualité ; si le cadre du miroir est invisible, comment
savoir si l’on regarde le monde réel ou son image renversée sur le miroir ? La transition peut
donc s’opérer entre une visualisation interactive, réalisée à grand renfort de calculs, et une
réalité virtuelle, oxymore certes, mais, si j’ose dire, réalité aujourd’hui.


Et si le calcul permet d’accéder à une autre réalité, reconstruite et virtuelle, ne pourrait-il pas
un jour remplacer le cerveau humain ? Nous en sommes encore très loin, rassurez-vous, mais
les premiers travaux ont débuté depuis quelques années. La tâche est immense : caractériser et
modéliser par le calcul chacun des innombrables types de neurones et leur milliers de
dendrites, représenter, toujours par le calcul, les interactions et transmissions d’informations
entre ces 100 milliards de neurones via les quelques dizaines de milliers de synapses associées
à chaque neurone, … Mais, après tout, nos calculs d’aujourd’hui ne se font-ils pas à la vitesse
de plusieurs millions de milliards d’opérations par seconde, à la vitesse de milliards de
milliards d’opérations par seconde dans 5 ans ou moins ? Après tout, nos plus gros
ordinateurs ne sont-ils pas constitués aujourd’hui de plusieurs centaines de milliers d’unités
de calculs individuelles, reliées par des réseaux de communication puissants ? Ce programme
de recherche futuriste, baptisé Blue Brain, le cerveau bleu, est déjà lancé. Le XXIème siècle le
verra-t-il se réaliser, au moins partiellement, achèvement ultime du 4ème âge de ce calcul
inventé à l’aube de l’humanité ?


Quelques remarques moins futuristes pour conclure !


Les 4 âges du calcul qui ont été l’objet de la promenade dans le temps que je vous ai proposée
sont de durées très inégales, de près de 10 millénaires pour le premier, de quelques siècles
pour le second, et d’un siècle ou de quelques décennies pour les plus récents. Comme pour
toutes les classifications de ce type, le calendrier se concentre aux époques récentes. Est-ce un
effet indubitable, lié à un comportement «boule de neige» qui permet des accélérations
s’accélérant elles-mêmes (les mathématiciens disent des variations exponentielles) ? Ou n’estce
pas aussi un peu le signe de notre prétention à une supériorité intrinsèque par rapport à nos
prédécesseurs ?


Je n’irai pas plus loin sur ce terrain, mais peut-être est-il intéressant pour conclure de réfléchir
à la profonde association entre le monde vivant et la notion de chiffres et de calculs. L’homme
adulte n’est pas seul dépositaire de la «bosse des nombres» !


Les animaux aussi connaissent la notion de quantité, ils sont sensibles à la taille du troupeau,
ils ne s’aventurent pas dans une zone où le nombre de prédateurs est trop important, ils
recherchent des territoires où les proies sont nombreuses. Ils perçoivent bien les notions de
«un», de «un peu», de «beaucoup» ... sans mentionner les animaux de cirque qui ont appris à
compter !


Et dès son plus jeune âge l’homme montre des dispositions pour une certaine forme de calcul.
Des expériences récentes ont montré que des nouveau-nés de quelques heures de vie peuvent
d’une certaine façon reconnaître des nombres : il suffit par exemple de leur faire entendre
pendant quelque temps un son composé d’un nombre donné de syllabes (par exemple 4
comme dans tu-tu-tu-tu) puis de leur présenter des images contenant, soit 4 objets identiques,
soit un nombre différent d’objets. Les résultats montrent qu’ils contemplent plus longtemps
l’image lorsque celle-ci contient un nombre d’objet correspondant au nombre de sons
entendus, montrant ainsi qu’ils sont capables de détecter les correspondances numériques
entre ces différentes sortes de stimuli, pourtant très différents.

Il ne faut donc pas s'étonner de la longue amitié entre l'Homme, les nombres et le calculs !


Notes

1. La dénomination “lois” est due à Voltaire qui fut le premier à l’utiliser dans ses “Eléments de
la philosophie de Newton” de 1738.
2. La troisième loi de Kepler, reliant le carré de la période orbitale au cube du demi grand axe,
fut découverte et mathématisée 10 ans plus tard.